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  • 直交関数系をいくつかみた。
  • その一つとしてフーリエ級数を紹介した。
  • フーリエ級数をeの複素指数表示を用いることで、フーリエ変換へと拡張する
  • 畳み込み積分を導入して、ウィンドウ化について説明し、ローパスフィルタ、ハイパスフィルタについて見る。
  • フーリエ変換の周辺の概念として、パワースペクトル、自己相関関数を紹介し、これらの関係性を見る
  • 最後にサンプリング定理について紹介する。

Reference:

1. 金谷 健一. これなら分かる応用数学教室―最小二乗法からウェーブレットまで― . 共立出版, 2003.↩

前回の復習

前回いくつかの(重み付き)直交関数系を見ていた。今回はその中でもフーリエ級数について扱う。

フーリエ級数概略

フーリエ級数は以下のような関数系であった。

関数系

$$ \left\{ \frac{1}{2}, \cos kx, \sin kx \right\} (k=1,2,\dots) $$

は区間$[-\pi, \pi]$は直交関数系になる。すなわち、

$$ \phi_i(x), \phi_j(x) \in \{ \frac{1}{2}, \cos kx, \sin kx \} (k=1,2,\dots) $$$$ \int_{-\pi}^\pi \phi_i(x) \phi_j(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (i \neq j) \\ \int_{-\pi}^\pi \phi_i(x)^2 dx & (i = j) \end{array} \right. $$

となる。関数をこの関数系で書き表すことをフーリエ級数という。

$i=j$のときについて見ていく。

  1. $\phi_i(x) = \frac{1}{2}$のとき $$ \begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \phi_i(x)^2 dx &=& \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{4} dx \\ &=& \left[\frac{1}{4}x\right]_{-\pi}^{\pi} \\ &=& \frac{\pi}{2} \cdots (1) \end{eqnarray} $$
  2. $\phi_i(x) = \cos kx$のとき $$ \begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \phi_i(x)^2 dx &=& \int_{-\pi}^\pi \cos^2 kx dx \\ &=& \int_{-\pi}^\pi \frac{1+\cos 2kx}{2} dx \\ &=& \frac{1}{2} \left[x + \frac{\sin 2kx}{2k} \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &=& \pi \cdots (2) \end{eqnarray} $$
  3. $\phi_i(x) = sinkx$のとき $$ \begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \phi_i(x)^2 dx &=& \int_{-\pi}^\pi \sin^2 kx dx \\ &=& \int_{-\pi}^\pi \frac{1-\cos 2kx}{2} dx \\ &=& \frac{1}{2} \left[x - \frac{\sin 2kx}{2k} \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &=& \pi \cdots (3) \end{eqnarray} $$

直交関数系の最小二乗法

$f(x)$を区間$[a,b], \sum_{i=0}^{\inf}c_i\phi_i(x)$で近似することを考える。 $$ J = \frac{1}{2}\int_a^b (f(x) - \sum_{i=0}^{\infty}c_i\phi_i(x))^2 dx \\ $$ $c_i$で偏微分する

$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial J}{\partial c_i} &=& \int_a^b (f(x) - \sum_{k=0}^{\infty}c_k\phi_k(x)) \cdot (-\phi_i(x)) dx \\ &=& \int_a^b -f(x) \phi_i(x) dx + c_i \int_a^b \phi_i(x)^2 dx (\because \phi_i(x) \phi_j(x) = 0 (i \neq j)) \end{eqnarray} $$

最小化したいので、$\frac{\partial J}{\partial c_i} = 0$ のときの{c_i}を求める

$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial J}{\partial c_i} = 0 &\Leftrightarrow& - \int_a^b f(x) \phi_i(x) dx + c_i \int_a^b \phi_i(x)^2 dx = 0 \\ &\Leftrightarrow& \int_a^b f(x) \phi_i(x) dx = c_i \int_a^b \phi_i(x)^2 dx \\ &\Leftrightarrow& \therefore c_i = \frac{\int_a^b f(x) \phi_i(x) dx}{\int_a^b \phi_i(x)^2 dx} \cdots (4) \end{eqnarray} $$

フーリエ級数の係数

フーリエ級数の係数をフーリエ係数という。(1)(2)(3)(4)を用いて、フーリエ係数を求める

  1. $\phi_i(x) = \frac{1}{2}$のとき

係数を$a_0$と書くと、

$$ \begin{eqnarray} a_0 &=& \frac{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \phi_i(x) dx}{\int_{-\pi}^{\pi} \phi_i(x)^2 dx} \\ &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \end{eqnarray} $$
  1. $\phi_i(x) = \cos kx$のとき

係数を$a_k$と書くと、 $$ \begin{eqnarray} a_k &=& \frac{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \phi_i(x) dx}{\int_{-\pi}^{\pi} \phi_i(x)^2 dx} \\ &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx \end{eqnarray} $$

  1. $\phi_i(x) = \sin kx$のとき

係数を$b_k$と書くと、

$$ \begin{eqnarray} b_k &=& \frac{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \phi_i(x) dx}{\int_{-\pi}^{\pi} \phi_i(x)^2 dx} \\ &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx \end{eqnarray} $$

ここで改めてフーリエ級数展開を書く。

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) $$

フーリエ級数の指数表示

$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$

を使って、$\cos \theta$と$\sin \theta $を表す

$$ \begin{eqnarray} \cos \theta &=& \frac{1}{2} ((\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta)) \\ &=& \frac{1}{2} ((\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))) \\ &=& \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) \\ &=& \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \end{eqnarray} $$$$ \begin{eqnarray} \sin \theta &=& \frac{1}{2i} ((\cos \theta + i \sin \theta) - (\cos \theta - i \sin \theta)) \\ &=& \frac{1}{2} ((\cos \theta + i \sin \theta) - (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta))) \\ &=& \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) \\ &=& \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \end{eqnarray} $$

フーリエ級数の複素表示

フーリエ級数の複素表示に入る前にフーリエ級数に展開する区間を$[-\pi, \pi]$から$[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$にする。そのためには $$ x = \frac{2\pi}{T} t $$ と変数変換すればいい。 $$ w_0 = \frac{2\pi}{T} $$ とおいて、

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kw_0t + b_k \sin kw_0t) $$

となる。

$$ \begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos kw_0t + b_k \sin kw_0t) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \frac{e^{ikw_0t} + e^{-ikw_0t}}{2} + b_k \frac{e^{ikw_0t} - e^{-ikw_0t}}{2i}) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(e^{ikw_0t}(a_k - ib_k) + e^{-ikw_0t}(a_k + ib_k)) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}(e^{ikw_0t}(a_k - ib_k) + e^{i(-k)w_0t}(a_{-(-k)} + ib_{-(-k)}) \\ &=& \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{\infty}e^{ikw_0t}(a_k - ib_k) + \sum_{k=-\infty}^{-1}e^{ikw_0t}(a_{-k} + ib_{-k})) (\because 第3項を変数変換)\\ &=& \sum_{k = -\infty}^{\infty}C_k e^{ikw_0t} (係数をすべてC_kにまとめた) \end{eqnarray} $$

ただし、$C_k$は、

$$ \begin{eqnarray} C_k = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{a_k-ib_k}{2} & (k > 0) \\ \frac{1}{2} & (k = 0) \\ \frac{a_{-k}+ib_{-k}}{2} & (k < 0) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

となる。

これを解いて、

$$ \begin{eqnarray} \frac{a_k-ib_k}{2} &=& \frac{1}{2} ( \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos kw_0t dt -i \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin kw_0t dt ) \\ &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos kw_0t -i\sin kw_0t) dt \\ &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-ikw_0t} dt \\ \frac{a_0}{2} &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (e^{-i0w_0t})dt \\ \frac{a_{-k}+ib_{-k}}{2} &=& \frac{1}{2} ( \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos -kw_0t dt +i \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin -kw_0t dt ) \\ &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos kw_0t -i\sin kw_0t) dt \\ &=& \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-ikw_0t} dt \\ \end{eqnarray} $$

となるので、 $$ \therefore C_k = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-ikw_0t} dt $$ この$C_k$を複素フーリエ係数という。

フーリエ変換

いくつかの変数を導入する $$ w_k = kw_0 $$ $$ \begin{eqnarray} \Delta w &=& w_{k+1} - w_k \\ &=& w_0 \\ &=& \frac{2\pi}{T} \end{eqnarray} $$ また、$C_k$を$w_k$の関数とみて、 $$ F(w_k) = TC_k $$ とおく。

これらを用いて、関数$f(t)$を書くと、 $$ \begin{eqnarray} f(t) &=& \sum_{k = -\infty}^{\infty}C_k e^{ikw_0t} \\ &=& \sum_{k = -\infty}^{\infty}\frac{F(w_k)}{T} e^{ikw_0t} \\ &=& \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(w_k) e^{ikw_0t} \\ &=& \frac{\Delta w}{2\pi}\sum_{k = -\infty}^{\infty}F(w_k) e^{ikw_0t} \\ &=& \frac{1}{2\pi}\sum_{k = -\infty}^{\infty}F(w_k) e^{iw_kt}\Delta w \end{eqnarray} $$

ここで、$T→\infty$とすると、$\Delta w → 0 $ となるので、$f(t)$は、 $$ \begin{eqnarray} f(t) &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w) e^{iwt} dw \end{eqnarray} $$

これを逆フーリエ変換といい、

$$ \begin{eqnarray} F(w) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-iwt} dt \end{eqnarray} $$

これをフーリエ変換という。

フーリエ変換例題

以下の関数をフーリエ変換せよ。 $$ w(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2W} & -W<=t<=W \\ 0 & Other \end{array} \right. $$

$w(t)$のフーリエ変換を$W(\omega)$とおくと $$ \begin{eqnarray} W(\omega) &=& \int_{-\infty}^{\infty} w(t) e^{-iwt} dt \\ &=& \int_{-W}^W \frac{1}{2W} e^{-iwt} dt \\ &=& \frac{1}{2W} \int_{-W}^We^{-iwt} dt \\ &=& \frac{1}{2W} \int_{-W}^W (\cos wt - i\sin wt) dt \\ &=& \frac{1}{2W} \int_{-W}^W \cos wt dt (/because 対称性より偶関数のみ残る) \\ &=& \frac{1}{W} \int_{0}^W \cos wt dt (/because 対称性) \\ &=& \frac{1}{W} \left[\frac{sinwt}{w} \right]_{0}^W \\ &=& \frac{sinwW}{wW} \end{eqnarray} $$